想像宇宙是一系列瞬間的快照。一個 數列 正是如此：一個由實數按順序排列的列表，其中位置（索引 $n$）決定其值。與集合不同，順序和重複是結構的核心所在。
1. 嚴謹的定義
數列 $\{a_n\}$ 可以視為一個列表：$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$。更正式地說，它是一個定義域為正整數集的函數。
定義 1（非正式）
若我們能通過取足夠大的 $n$，使項 $a_n$ 非常接近於 $L$，則稱該數列的極限為 $L$（記作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$）。
定義 2（正式 ε–N）
$\lim_{n \to \infty} a_n = L$，當且僅當對於任意 $\varepsilon > 0$，都存在對應的整數 $N$，使得當 $n > N$ 時，有 $|a_n - L| < \varepsilon$。
2. 微積分的橋樑：定理 3
我們最強大的工具之一，就是將離散的數列視為連續函數。這使我們能夠完整運用洛必達法則。
若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 且 $f(n) = a_n$，則 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。
範例解析
求 $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$。
考慮 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$。當 $x \to \infty$ 時，出現 $\infty/\infty$ 的不定型。套用洛必達法則：
$\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$。根據定理 3，該數列也收斂於 0。
3. 發散的細節
發散並不總是意味著「爆炸式增長」至無窮大。數列也可能透過 振盪而發散。例如 $a_n = (-1)^n$，其項在 $-1$ 與 $1$ 之間不斷跳動，永遠無法穩定於某個單一值。
🎯 核心原則
收斂要求：對於你選擇的任意微小距離 ε，數列中存在一點（$N$），在此點之後 所有 剩餘的所有項都必須被限制在距離極限 $L$ 的該距離之內。
主題側欄： 在本章最後一節中，你將被要求利用級數推導出海浪速度的公式。